Didattica

ATTIVITA' DIDATTICA 2017-2018

 

Analisi Matematica II, dipartimento di Fisica, 56 ore didattica frontale + 28 ore esercitazioni  (secondo semestre)

 

Analisi Matematica III, dipartimento di Fisica, 56 ore di didattica frontale (primo semestre)

 

PAF (Percorso di Approfondimento in Fisica), dipartimento di Fisica, 10/12 ore didattica frontale (frattali autosimilari in matematica e fisica) (secondo semestre)

 

 

Orari di Ricevimento

Giovedi 14-15, previo appuntamento da prendere tramite email

24/02/2017 10.09

Diario delle lezioni

 

 

Analisi Matematica III

Il corso comprenderà l'analisi delle strutture matematiche legate alla integrabilità per funzioni di più variabili a valori reali e vettoriali. In particolare, verranno enfatizzati gli aspetti geometrici e fisici delle stesse.

 

Strutturazione degli Esami

 L'esame sarà strutturato in scritto ed orale. Per ogni sessione di scritto ed orale alla quale si intende partecipare è obbligatoria l'iscrizione sul sito dell'ateneo detto ESSE3, l'eventuale mancanza di iscrizione comporta l'esclusione dall'esame. Ogni scritto avrà durata TRE ore (tipicamente dalle 9 alle 12) e consisterà in TRE (talvolta QUATTRO) esercizi tipici inerenti le strutture matematiche insegnate durante il corso. Ci saranno DUE prove intercorso, passate le quali, entrambe con votazione maggiore od uguale a 18/30, si potrà procedere direttamente all'orale esclusivamente nella sessione di giugno-luglio, previa iscrizione su ESSE3. Inoltre, ci saranno 5 sessioni di scritti, secondo il calendario accademico: due scritti nella sessione giugno-luglio, uno scritto a settembre, due scritti nella sessione gennaio-febbraio. Nuovamente, si potrà accedere alla sessione orale, rigorosamente durante la stessa sessione dello scritto, se si sarà ottenuta votazione maggiore o uguale a 18/30. Quindi se si passa lo scritto a giugno, si può fare l'orale sia a giugno sia a luglio, a discrezione dello studente. Se si passa lo scritto a luglio, l'orale solo nella sessione di luglio. Se si passa lo scritto a settembre, l'orale solo nella sessione di settembre, e per la sessione di gennaio-febbraio si applica quanto già detto per la sessione di giugno-luglio. L'orale è facoltativo ma è comunque sempre obbligatoria l'iscrizione su ESSE3. Nel caso non si intenda sostenere l'orale, si comunica al docente la propria volontà di non sostenere l'orale, o durante la sessione di esame oppure tramite email (in cui si dovrà scrivere in maniera esplicita che si accetta il voto minimo tra scritto e 23/30), ed il voto in questo caso sarà il minimo tra il voto dello scritto e 23/30. Se si vuole fare l'orale, lo studente comunica al docente quale livello di orale intende sostenere, livello I o livello II. L'orale di livello I verterà sulla totalità degli insegnamenti svolti durante il corso, ed eventualmente, previa comunicazione preventiva con il docente, anche su argomenti che esulano quanto svolto nel corso, ed il voto finale, dipendente anche dal voto dello scritto, potrà arrivare a 30/30 con lode. L'orale di livello II verterà su un sottoinsieme dei risultati ottenuti durante il corso che verranno selezionati e comunicati allo studente tramite il programma finale del corso. Il voto finale, in questo caso, non potrà essere superiore a 27/30.

 

Testi Consigliati

Brunetti -- Note di Analisi Matematica III, sezione Download

Pagani, Salsa -- Analisi Matematica I & II, Zanichelli 2015-2016

Gilardi -- Analisi due, McGRaw-Hill, seconda edizione, 1996

Fusco, Marcellini, Sbordone -- Analisi Matematica due, Liguori, 1995

De Marco -- Analisi Due, Decibel Zanichelli, seconda edizione, 1999

Protter, Morrey -- A first course in real analysis, Springer, 2nd edition 1991

Shurman -- Calculus and Analysis in Euclidean Space, Springer, UTM, 2016

Munkres -- Analysis on manifolds, Addison-Wesley, 1991

Darling -- Differential Forms and Connections, Cambridge University Press, 1994.

Sjamaar -- Manifolds and Differential Forms, online manuscript, http://www.math.cornell.edu/~sjamaar

do Carmo -- Differential forms and applications, Springer, Universitext, 1994

 

Diario delle lezioni

I risultati indicati in parentesi tonde fanno riferimento alle note disponibili nella sezione Download 

Lezione 1 -- 27/09/2017

Presentazione del corso, delle regole per gli esami, suggerimenti sui testi adottabili. Intervalli sulla retta. Rettangoli in R^n e loro volume. Insiemi rettangolari e loro stabilità per le principali operazioni insiemistiche. Partizioni di insiemi rettangolari. Esistenza di partizioni con elementi di diametro preassegnato (Lemma 1.1.8). Estensione del concetto di volume per insiemi rettangolari. Teorema dell'indipendenza della nozione di volume dalla partizione (Teorema 1.1.10). Insiemi rettangolari traslati e indipendenza del volume dalla traslazione. Somme di Darboux. Integrali superiore ed inferiore per funzioni limitate. Definzione integrabilità secondo RIemann. Esempi: funzione costante e controesempio della generalizzazione funzione Dirichlet sul cubo [0,1]^n.

Lezione 2 -- 29/09/2017

Criterio di integrabilità (Teorema 1.2.5). Integrabilità su sottoinsiemi rettangolari (Proposizione 1.2.6). Richiami di oscillazioni di funzione e caratterizzazione di continuità con oscillazioni (sezione 0). Integrabilità funzioni continue (Teorema 1.2.7).  Esempi funzioni integrabili. Esempio di calcolo esplicito somme di Darboux per funzione continua (Esempio 1.2.9). Sopralinearità e sottolinearità integrali inferiore e superiore di Darboux (Lemma 1.2.10). Funzioni traslate. Teorema proprietà integrazione di RIemann (Teorema 1.2.11). Integrazione per iterazione in R^2, Teorema Baby di Fubini. Esempi. 

Lezione 3 -- 04/10/2017

Esercitazione di integrazione per riduzione di insiemi normali in R^2 e R^3. Integrazioni di funzioni su insiemi normali. Concetto di misura nulla (Def.1.4.1). Esempi di insiemi di misura nulla (Esempi 1.4.3). Proprietà degli insiemi di misura nulla (Teorema 1.4.4). Definizione di insieme delle discontinuità di funzione (Def. 1.4.6). Teorema di Lebesgue-Vitali (Teorema 1.4.7**).

Lezione 4 -- 06/10/2017

Richiamo misura nulla e concetto di proprietà vera quasi ovunque. Teorema 1.4.10 positività e misura nulla. Cenno al Teorema 1.4.11 sulla stabilità del concetto di misura nulla sotto trasformazione lipschitziana. Estensione del concetto di integrazione per domini limitati generici. Estensione a zero di funzioni. Indipendenza della prescrizione dal rettangolo. Teorema proprietà integrazione estesa Teorema 1.5.1. Corollario 1.5.3. Concetto di supporto di funzione ed esempi. Cenni a composiizone di funzioni e integrabilità. Concetto di rettificabilità (misurabilità secondo Peano-Jordan), esempi e controesempi. Concetti di volume interno ed esterno. Teorema proprietà rettificabilità 1.6.3. Teorema 1.6.4 sulla caratterizzazione della rettificabilità per insiemi limitati con frontiera di misura nulla. 

Lezione 5 -- 11/10/2017

Controesempi generici alla rettificabilità. Esempi di rettificabilità presi dalla geometria euclidea classica. Parallelepipedi in R^3, loro rettificabilità e volume. Cilindri in R^3, rettificabilità e volume. Coni in R^3, rettificabilità e volume. Cenni a rettificabilità e volume di semisfere, quindi delle sfere come unioni con interni disgiunti. Invarianza sotto traslazione di volumi di insiemi rettificabili in R^n TEorema 1.6.7.

Lezione 6 -- 13/10/2017

Insiemi normali nello spazio R^n rispetto a sottospazion R^n-1. Normalità rispetto ad altri sottospazi. Teorema della rettificabilità degli insiemi normali, Teorema 2.1.2**. Fubini per insiemi normali, Teorema 2.1.4. Esempi di applicazione del Teorema. Teorema della nulla misurabilità dei grafici di funzioni integrabili e/o continue, Teorema 2.1.7. Formula di Cavalieri, Liu, Zhu, Archimede, Teorema 2.1.8. Esempi. Teorema 2.1.9 dell'iterazione di rettificabili. Esempi.

Lezione 7 -- 17/10/2017

Cambio delle variabili negli integrali multipli. Cambio polare. GEometria del cambiamento polare, regioni e corrispondenze cartesiane. Cambiamento della misura per trasformazione polare, cenni intuitivi. Determinate delle trasformazioni, vaolume n-dimensionale di parallelepipedi. Teorema di cambio polare. Esempi di applicazione del Teorema.

Lezione 8 -- 18/10/2017

Cambio variabili cilindriche. Geometria fondamentale, regioni semplici. Esempi. Cambio variabili sferiche. Geometria elementare, regioni semplici. Esempi. Cenni al teorema 5.2.2. per il cambio delle variabili in generale per compatti rettificabili in R^n.

Lezione 9 -- 20/10/2017

Teorema generale del cambio delle variabili per compatti rettificabili. Esempi di applicazione con cambiamenti lineari e non lineari.

Lezione 10 -- 25/10/2017

Definizione integrazione assoluta su aperti di R^n. Lemma 3.1.2 sull'esaustione degli aperti con compatti rettificabili. Teorema 3.1.3 sulla caratterizzazione dell'integrazione assoluta. Proprietà dell'integrazione assoluta, Teorema 3.1.4. Esistenza per aperti limitati dell'integrale assoluto ma non di quello ordinario, controesempio e TEorema 3.1.5. Caratterizzazione integrazione assoluta con esaustione tramite aperti. Esempi di integrazione assoluta.

Lezione 11 -- 27/10/2017

Volume generalizzato per insiemi non limitati. Cenni all'equivalenza per insiemi limitati con la nozione di volume ordinaria. Esempi. Proprietà dei volumi generalizzati. Esempio insiemi illimitato con volume finito, caso del volume di rotazione del grafico dell'iperbole. Criteri di integrabilità assoluta. Applicazione agli integrali gaussiani. (Cap. 3 delle note)

Lezione 12 -- 03/11/2017

Applicazione dell'integrazione assoluta: la trasformata di Fourier. Definizioni prelimirari, multiindici, multiderivate, polinomi nelle componenti di un vettore. Funzioni a decrescita rapida S. Seminorme, anche equivalenti, esempi, controesempi. Definizione di trasformata. Proprietà rispetto a moltiplicazione per polinomi e derivate, traformata come endomorfismo di S, Teorema 3.5.4. Convoluzione. Teorema della convoluzione e trasformata, Teorema 3.5.7.