Didattica

ATTIVITA' DIDATTICA 2016-2017

 

Analisi Matematica II, dipartimento di Fisica, 56 ore didattica frontale + 28 ore esercitazioni (Dott. D. Pastorello, A. Pinamonti)

 

Analisi Matematica III, dipartimento di Fisica, 42 ore di didattica frontale + 14 ore esercitazioni 

 

PAF (Percorso di Approfondimento in Fisica), dipartimento di Fisica, 10 ore didattica frontale (frattali autosimilari in matematica e fisica)

 

Topics in the Mathematical Physics of Quantum Theories, 42 ore didattica frontale, Laurea Magistrale in Matematica.

 

Quantum Dynamics for Lattice Systems, 30 ore didattica frontale, Dottorato di Ricerca in Matematica.

Orari di Ricevimento

Giovedi 14-15, previo appuntamento da prendere tramite email

24/02/2017 10.09

Diario delle lezioni

 

 

Analisi Matematica II

Il corso comprenderà l'analisi delle strutture matematiche legate alla continuità e differenziabilità per funzioni di più variabili a valori reali e vettoriali. In particolare, verranno enfatizzati gli aspetti geometrici e fisici delle stesse.

 

Strutturazione degli Esami

 L'esame sarà strutturato in scritto ed orale. Per ogni sessione di scritto ed orale alla quale si intende partecipare è obbligatoria l'iscrizione sul sito dell'ateneo detto ESSE3, l'eventuale mancanza di iscrizione comporta l'esclusione dall'esame. Ogni scritto avrà durata TRE ore (tipicamente dalle 9 alle 12) e consisterà in TRE esercizi tipici inerenti le strutture matematiche insegnate durante il corso. Ci saranno DUE prove intercorso, passate le quali, entrambe con votazione maggiore od uguale a 18/30, si potrà procedere direttamente all'orale esclusivamente nella sessione di giugno-luglio, previa iscrizione su ESSE3. Inoltre, ci saranno 5 sessioni di scritti, secondo il calendario accademico: due scritti nella sessione giugno-luglio, uno scritto a settembre, due scritti nella sessione gennaio-febbraio. Nuovamente, si potrà accedere alla sessione orale, rigorosamente durante la stessa sessione dello scritto, se si sarà ottenuta votazione maggiore o uguale a 18/30. Quindi se si passa lo scritto a giugno, si può fare l'orale sia a giugno sia a luglio, a discrezione dello studente. Se si passa lo scritto a luglio, l'orale solo nella sessione di luglio. Se si passa lo scritto a settembre, l'orale solo nella sessione di settembre, e per la sessione di gennaio-febbraio si applica quanto già detto per la sessione di giugno-luglio. L'orale è facoltativo, è comunque obbligatoria l'iscrizione su ESSE3. Nel caso non si intenda sostenere l'orale, in sede di esame si comunica al docente la propria volontà di non sostenere l'orale ed il voto in questo caso sarà il minimo tra il voto dello scritto e 23/30. Se si vuole fare l'orale, lo studente comunica al docente quale livello di orale intende sostenere, livello I o livello II. L'orale di livello I verterà sulla la totalità degli insegnamenti svolti durante il corso, ed eventualmente, previa comunicazione preventiva con il docente, anche su argomenti che esulano quanto svolto nel corso, ed il voto finale, dipendente anche dal voto dello scritto, potrà arrivare a 30/30 con lode. L'orale di livello II verterà su un sottoinsieme dei risultati ottenuti durante il corso che verranno selezionati e comunicati allo studente tramite il programma finale del corso. Il voto finale, in questo caso, non potrà essere superiore a 27/30.

 

Testi Consigliati

Pagani, Salsa -- Analisi Matematica I & II, Zanichelli 2015-2016

Gilardi -- Analisi due, McGRaw-Hill, seconda edizione, 1996

Fusco, Marcellini, Sbordone -- Analisi Matematica due, Liguori, 1995

Protter, Morrey -- A first course in real analysis, Springer, 2nd edition 1991

Shurman -- Calculus and Analysis in Euclidean Space, Springer, UTM, 2016

 

Diario delle lezioni

 Lezione 1: 21/02/2017

Introduzione al corso: argomenti generali, testi, tipologia esami, esercitazioni. Richiami spazi euclidei, prodotto scalare standard e non su R^n, forme sesquilineari e hermitiane su C^n. Norme euclidee su R^n e C^n, proprietà fondamentali incluse identità di polarizzazione e di Pitagora, teorema della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norme non euclidee, norme indotte da prodotti scalari e norme più generali. Nozione di metriche indotte da norme differenti (Euclidea e non), metriche non indotte da norme. Nozione di palla aperta in R^n. [Pagani-Salsa, vol.1, cap.3. Gilardi, vol.2, cap. 3]

 Lezione 2: 23/02/2017

Richiami palle aperte e chiuse in metriche (norme) euclidea e non. Esempio delle palle aperte e chiuse centrate nell'origine e di raggio 1 in R^2 nelle varie norme. Disuguaglianze tra le varie norme, significato geometrico delle disuguaglianze. Nozione di successione in R^n e convergenza. Teorema ponte, successioni di vettori conveergono se e solo se convergono tutte le successioni delle componenti. Esempio di successione convergente in R^n. Convergenza equivalente nelle diverse norme. Nozioni di topologia: punti interni, esterni e di frontiera. Esempi. Insiemi aperti. Ogni palla aperta in R^n e un aperto di R^n.  Esempi di insiemi aperti. Teorema: l'interno di un insieme in R^n e' l'aperto piu' grande contenuto nell'insieme. Teorema: unioni qualsiasi di aperti e' un aperto, intersezione finita di aperti e' un aperto. [Pagani-Salsa, vol.1, cap.3. Gilardi, vol.2, cap. 3]

 Lezione 3: 28/02/2017

Breve richiamo della lezione precedente. Definizione di intorno di insieme e di punti, assiomatica. Esempi di intorni di punti di R^n. Definzione di punto di accumulazione e isolato. Derivato di un insieme. Insiemi perfetti e discreti. Esempi. Lemma che intorni di punti di accumulazione contengono infiniti punti dell'insieme. Definizione di insieme chiuso. Esempi. Ogni palla chiusa e' un chiuso. Proprieta' di stabilita' per interesezione arbitraria e unione finita di insiemi chiusi. Concetto di chiusura o aderenza, punti aderenti. Lemma sul legame tra chiusura e interno di un insieme di R^n. Teorema di caratterizzazione degli insiemi chiusi. (Pagani-Salsa, vol.1 cap.3, Gilardi, vol.2, cap.3)

 Lezione 4: 01/03/2017

Breve richiamo lezione precedente. Affinamento di alcune proprieta', interno, aderenza, frontiera. Ricoprimento di un insieme, esempi, sottoricoprimenti, esempi. Insiemi compatti di R^n. Teorema di Heine-Borel. Definizione di funzioni su R^n a valori vettori. Alcuni esempi. Nozione di limite di funzione, tramite metrica, intorni sferici, intorni generici.(Richiamo nozione di controimmagine di insieme data una funzione). Lemma equivalenza limite di funzione tramite intorni sferici. Nozione di funzione continua, in forma equivalente, metrica, intorni sferici e intorni generici. Funzioni Lipschitziane. Primi accenni a classi di funzioni continue. (Pagani-Salsa, vol.1 cap.3, Gilardi, vol.2 cap.3) 

Lezione 5: 07/03/2017

Breve richiamo lezione precedente per la continuità. Topologia relativa, aperto, chiuso, intorno aperto e intorno, chiusura e frontiera relativi. Continuità per componenti, per successioni. Controesempi di continuità. Proprietà funzioni continue: somma, prodotto, composizione etc. Esempi notevoli di funzioni continue,; polinami e funzioni razionali. Omeomorfismi, mappe aperte e chiuse. Esempi. Teorema di equivalenza per funzioni bigettive: omeomorfa, continua e aperta, continua e chiusa. [Pagani-Salsa, vol. 1 cap. 3. Gilardi, vol.2 cap.3. Wikipedia: cercare "homeomorphism"]

Lezione 6: 08/03/2017

Richiamo Teorema dell'omeomorfismo. Controesempio al teorema per funzioni non iniettive: proiezioni ortogonali. Completezza: Teorema di Bolzano-Weierstrass in R^n. Successioni di Cauchy. Da succ. di Cauchy segue limitatezza, da convergenza segue succ. di Cauchy. Teorema di completezza per R^n. Definizione di completezza per spazi normati astratti, spazi di Banach. Contrazioni. Teorema di Banch-Caccioppoli in un chiuso di R^n. Uso del teorema per trovare la suriettività di una mappa. Compattezza e continuità. Definizione di compattezza per successioni, e per intersezioni con famiglie di chiusi con la proprietà dell'intersezione finita. Teorema allargato di Heine-Borel. Teorema della compattezza dell'immagine di un compatto sotto mappa continua. Teorema di Weierstrass. Corollario dell'equivalenza delle norme su R^n. [Pagani-Salsa vol.1 cap.3 + sez.4.4 + sez.5.2+ vol.2 sez.3.1.6. Gilardi vol.2 cap.3+4]

Lezione 7: 14/03/2017

Richiamo di continuità e compattezza, mappe aperte e chiuse, controesempio della non compattezza alla controimmagine di un compatto tramite funzione continua. Fibre e insiemi di livello. Mappa propria. Teorema per mappe continue con proprietà: ogni mappa propria è chiusa, ogni mappa chiusa con fibre compatte è propria. Ogni mappa continua bigettiva con dominio compatto è un omeomorfismo. Continuità uniforme con definizione tramite metrica (norma) e intorni delle origini. Esempi: ogni Lipschitziana è uniformemente continua, trasformazioni lineari sono Lipschitz quindi uniformemente continue. Controesempio: x^2 in R non è unif. continua. Teorema di Heine-Cantor. Successioni di funzioni: equilimitatezza, convergenza puntuale, insieme di convergenza, funzioni limite. Esempi. [Pagani-Salsa, Fusco-Marcellini-Sbordone] 

Lezione 8: 15/03/2017

Richiamo convergenza puntuale e definizione di convergenza uniforme, loro comparazione. Criterio di convergenza uniforme. Convergenza uniforme implica puntuale. Esempi di convergenza uniforme. Criteri di convergenza puntuale ed uniforme alla Cauchy. Esempio di utilizzo per il criterio di convergenza uniforme alla Cauchy. Proprietà principali della convergenza uniforme: teorema della limitatezza, teorema di scambio dei limiti, corollario della continuità, scambio limite e derivata, scambio limite ed integrazione. [Pagani-Salsa, vol.2 cap.3, Fusco-Marcellini-Sbordone, cap.1]

Lezione 9: 16/03/2017 (Esercitazione)

Esercitazione sugli argomenti pertinenti alle convergenze puntuali ed uniformi di successioni di funzioni in R. 

Lezione 10: 21/03/2017

Richiami convergenza per successioni di funzioni. Definizione di serie di funzioni come coppia di successioni (funzioni generalmente definite in R^n a valori in R^m, incluso caso complesso multidimensionale). Convergenza puntuale e uniforme. Caratterizzazione convergenza uniforme con test di Weierstrass. Criterio di convergenza uniforme alla Cauchy. Proprietà in convergenza uniforme (le medesime del caso delle successioni, nel caso di derivabilità e integrabilità limitatamente alla funzioni reali di variabile reale). Presentazione delle 4 tipologie di convergenza, puntuale, uniforme, assoluta e totale. Teorema dell'implicazione  totale-> assoluta->puntuale, totale->uniforme->puntuale, nessuna relazione tra assoluta e uniforme, le frecce non si invertono. Esempi. Funzione di Weierstrass, continua e non differenziabile in nessun punto di R (senza dimostrazione). Serie di potenze in campo reale e complesso. Insieme di convergenza: tre soli casi. Lemma su convergenza assoluta e uniforme. [Pagani-Salsa, vol.2 cap 3.2, Fusco-Marcellini-Sbordone, cap.1]

Lezione 11: 22/03/2017

Richiamo lemma lezione precedente. Nozione di raggio di convergenza di serie di potenze nel campo reale e complesso. Convergenza totale in ogni compatto interno all'intervallo di convergenza, convergenza totale in ogni compatto con estremo dell'intervallo di convergenza se ivi la serie converge assolutamente. Teorema di Abel. Teorema di Cauchy-Hadamard e D'Alembert per il calcolo esplicito del raggio di convergenza. Conseguenze del teorema di Cauchy-Hadamard: derivazione per serie, ogni serie derivata ha stesso raggio di convergenza della serie originale, integrazione per serie, ogni serie integrata ha lo stesso raggio di convergenza della serie originaria. Funzione somma è infinitamente derivabile in ogni punto interno all'intervallo di convergenza. Serie di Taylor. Controesempio. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Criterio sufficiente per sviluppabilità.  [Pagani-Salsa, vol2. cap.3, Fusco-Marcellini-Sbordone, cap. 1]

Lezione 12: 28/03/2017

Serie di Fourier. Brevissimo cenno storico. Funzioni periodiche. Polinomi trigonometrici in forma complessa e reale. Funzioni generalmente continue, derivabili e periodiche. Funzioni a valor principale. Prodotto hermitiano definito positivo su spazio funzioni generalmente continue periodiche e coincidenti con valor principale. Proiezione ortogonale sui polinomi trigonometrici, approssimazione di funzioni generlamente conitnue periodiche con polinomi trigonometrici. Problema di convergenza serie di Fourier. 4 Teoremi principali: disuguaglianza di Bessel, convergenza puntuale (d'Alembert), convergenza uniforme (Weierstrass), Parseval, convergenza quadratica media. [Pagani-Salsa, vol.2 cap.3, Fusco-Marcellini-Sbordone, cap.1]

Lezione 13: 29/03/2017

Esempi di calcolo coefficienti di serie di Fourier tramite i teoremi citati nel giorno precedente. Segnale dente di sega discontinuo, segnale esponenziale, segnale dente di sega continuo, onda quadra. 

Lezione 14: 04/04/2017

Introduzione alla derivabilità per funzioni reali in R^n. Richiamo derivabilità su R. Analogia per direzioni generiche in R^n con definizione di derivazione direzionale. Derivate parziali come derivate direzionali in direzioni elementi di una base assegnata. Esempi di derivazione parziale. Esempio che esistenza di derivate parziali non implica esistenza derivate direzionali. Esempio funzione con derivate direzionali ma non continua. Richiami geometrici del concetto di derivata in R come migliore approssimazione affine. Analogia in R^n. Unicità dell'approssimazione affine. Se tale appossimazione affine esiste allora ne consegue derivabilità in ogni direzione e continuità. Definizione formale del concetto di differenziabilità di funzione in R^n a valori reali. Teorema sulla necessità della differenziabilità per derivabilità direzionale, continuità, linearità derivata direzionale. Controesempio alla sufficienza. [Pagani-Salsa, vol.1, Fusco-Marcellini-Sbordone, cap. 2, Gilardi, cap.5]

Lezione 15: 05/04/2017

Precisazioni lezione precedente: differenziabilità come proprietà locale, derivate direzionali destre e sinistre e coni di direzioni ammissibili per punti alla frontiera, esempi importanti di funzioni differenziabili con derivazione del loro differenziale totale: quadrato della norma euclidea, prodotto scalare, proiezione su j-esima componente, funzioni lineari, pericolosità notazione di derivata parziale di Jacobi. Derivata direzionale come mappa tangente con discussione del piano verticale passante per il grafico di funzione. Gradiente, relazione con derivata direzionale e differenziale totale. Iperpiano tangente e spazio tangente al grafico di una funzione. Punti stazionari. Proposizione sulla direzione di massima pendenza data dal gradiente. Matrice Jacobiana. Differenziale totale nella base duale. [Pagani-Salsa, vol.1, cap.7, Fusco-Marcellini-Sbordone, cap.3, Gilardi, cap.5]

Lezione 16: 11/04/2017

Iperpiano tangente a grafico di funzione, spazio tangente, dimensione e base dello stesso. Prodotto scalare su R^nxR, spazio dei vettori normali allo spazio tangente del grafico di una funzione. Condizione sufficiente per differenziabilità. Controesempio alla necessità. Definizione di classe C^1. Curve in R^n. Curve semplici, chiuse, esempi. Curve regolari, classi di equivalenza di curve regolari sotto riparametrizzazioni, esempi. Curve rettificabili, teorema di rettificabilità per curve regolari. [Pagani-Salsa, vol.2 cap.1, Fusco-Marcellini-Sbordone]

Lezione 17: 12/04/2017

Lunghezza di curva regolare come proprietà intrinseca della classe di equivalenza sotto riparametrizzazione. Unione di cruve con condizione di raccordo, curve generalmente regolari. Ascissa curvilinea, esempio dell'elica cilindrica. Vettore di curvatura, curvatura e raggio di curvatura. Teorema della formulazione dell'accelerazione e della curvatura per curve regolari di classe C^2. Funzioni da R^n a R composte con parametrizzazioni di curve. Lemma della migliore approssimazione affine per retta tangente a curva regolare. Teorema della derivazione a catena per funzioni composte con curve regolari. Graficin di funzioni e insiemi di livello. Funzioni implicite e problema di esistenza, unicità e regolarità delle stesse. Controesempi. Caso n=2, Lemma dell'ortogonalità del gradiente agli insiemi di livello. Esempi di applicazione del lemma. [Pagani-Salsa, vol.2 cap.1, vol.1 cap.7.3]

Lezione 18: 19/04/2017

Introduzione al problema della determinazione delle funzioni implicite. Teorema del Dini. Osservazione sulla sola sufficienza del Teorema. Esempi. [Pagani-Salsa, vol.1 cap.7.3]